题目内容
不等式a(x2+
)+x+
+11a＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
分析：由x＞0，可得x+
≥2
=2，当且仅当x=1时取等号．令x+
=t≥2，则x2+
=(x+
)2-2=t2-2．于是不等式a(x2+
)+x+
+11a＞0，对任意x∈（0，+∞）恒成立?a（t2-2）+t+11a＞0对于t∈[2，+∞）恒成立?a＞(
)max，t∈[2，+∞）．利用导数研究函数f（t）=
，t∈[2，+∞）的单调性极值与最值即可．
| 1 |
| x |
x•
|
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| -t |
| t2+9 |
| -t |
| t2+9 |
解答：解：∵x＞0，∴x+
≥2
=2，当且仅当x=1时取等号．
令x+
=t≥2，则x2+
=(x+
)2-2=t2-2．
∴不等式a(x2+
)+x+
+11a＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立?a（t2-2）+t+11a＞0对于t∈[2，+∞）恒成立．
?a＞(
)max，t∈[2，+∞）．
令f（t）=
，t∈[2，+∞）．f′(t)=
=
，
令f′（t）=0，解得t=0．
当2≤t＜3时，f′（t）＜0，此时函数f（x）单调递减；当3＜t时，f′（t）＞0，此时函数f（x）单调递增．
f（2）=-
，而当t→+∞时，f（t）→0，
∴a≥0．
故选C．
| 1 |
| x |
x•
|
令x+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
∴不等式a(x2+
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
?a＞(
| -t |
| t2+9 |
令f（t）=
| -t |
| t2+9 |
| -(t2+9)+2t2 |
| (t2+9)2 |
| t2-9 |
| (t2+9)2 |
令f′（t）=0，解得t=0．
当2≤t＜3时，f′（t）＜0，此时函数f（x）单调递减；当3＜t时，f′（t）＞0，此时函数f（x）单调递增．
f（2）=-
| 2 |
| 13 |
∴a≥0．
故选C．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本方法，属于难题．
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