Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

（I）证明PA⊥平面ABCD；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明  因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 从而     （Ⅲ）解法一  以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为   所以 设点F是棱PC上的点，则        令   得 解得      即 时， 亦即，F是PC的中点时，、、共面. 又  BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC. 解法二  当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下， 证法一  取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.  ① 由   知 E是MD的中点. 连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 所以  BM//OE.  ② 由①、②知，平面BFM//平面AEC. 又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC. 证法二 因为            所以  、、共面. 又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.