Question

【题目】已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，椭圆的一个焦点为圆的圆心．

(1)求椭圆的方程；

(2)若M，N为椭圆上的两个动点，直线OM，ON的斜率分别为，当时，△MON的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）为定值，详见解析

【解析】

(1)根据菱形的面积和焦点建立方程组，解方程组可得；

(2)先求弦长和三角形的高，再求面积的表达式，求出定值.

解：（1）由题意可知，，

圆的圆心为，所以，

因此，联立，解之，

故椭圆的方程为.

（2）设，当直线的斜率存在时，设方程为，

由，消可得，

则有，即，

，

所以

.

点到直线的距离，

所以.

又因为，

所以，

化简可得，满足，

代入，

当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设，则点的坐标分别为,

此时，

综上，的面积为定值.

法二：设，

由题意，可得，

所以，

而

因为，所以，故为定值.