Question

如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点，过、E、F作平面交于G．
(l)求证：EG∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方体被平面所截得的几何体的体积．

Answer 1

(1)详见试题解析(2) (3)

试题分析：（1）两平行平面都与第三个平面相交，则交线平行；
（2）以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量为，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求二面角的余弦值．
（3）所求几何体是由正方体截去一个三棱台而得到， 所以，．
（1）证明：在正方体中，因为平面平面,
平面平面平面平面

（2）解：如图，以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则有

设平面的法向量为则由和得
取得
又平面的法向量为
故
所以截面与底面所成二面角的余弦值为
（3）解：设所截几何体的体积为
与相似，



故