Question

设函数f（x）=blnx-（x-1）²，其中b为常数．
（Ⅰ）若b=4，求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若函数f（x）有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（Ⅲ） 证明：对任意不小于3的正整数n，不等式ln(n+1)-lnn＞

1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的导函数f′（x），b=4时，解不等式f′（x）＜0，即可得函数的单调递减区间
（II）函数的定义域为（0，+∞），函数f（x）有极值点即方程f′（x）=0有正根，从而求得b的范围，但要求极值点，必须讨论极值点的个数，分两种情况分别讨论函数的单调区间，得相应的极值点
（Ⅲ）所证不等式即ln

n+1

n

-（

n+1

n

-1）²＞0，结合（II），只需证明b=1，且n≥3时，f（

n+1

n

）＞0，因为f（1）=0，故只需利用函数f（x）=lnx-（x-1）²在（1，

3

2

）上为增函数即可得证

解答：解：∵f′（x）=

b

x

-2（x-1）=

-2x2+2x+b

x

（Ⅰ）∵b=4∴f′（x）=

-2x2+2x+4

x

=

-2(x+1)(x-2)

x

 （x＞0）
由f′（x）＜0，得x＞2
∴函数f（x）的单调递减区间为（2，+∞）
（II）∵函数f（x）有极值点，∴f′（x）=0有正根，
即2x²-2x-b=0有正根
∵y=2x²-2x-b的对称轴为

1

2

＞0，
∴只需△=4+8b＞0，∴b＞-

1

2

①若-

1

2

＜b＜0，∵2x²-2x-b=0的两根之积为-

b

2

＞0，∴此方程有两个正根

1- 2+2b

2

，

1+ 2+2b

2

函数f（x）在（0，

1- 2+2b

2

）上为减函数，在（

1- 2+2b

2

，

1+ 2+2b

2

）上为增函数，在（

1+ 2+2b

2

，+∞）上为减函数
∴函数f（x）的极小值点为x=

1- 2+2b

2

，极大值点为x=

1+ 2+2b

2

②若b≥0，∵2x²-2x-b=0的两根之积为-

b

2

≤0，∴此方程有一个正根

1+ 2+2b

2

函数f（x）在（0，

1+ 2+2b

2

）上为增函数，在（

1+ 2+2b

2

，+∞）上为减函数
∴函数f（x）无极小值点，极大值点为x=

1+ 2+2b

2

综上所述，-

1

2

＜b＜0时，函数f（x）的极小值点为x=

1- 2+2b

2

，极大值点为x=

1+ 2+2b

2

；
b≥0时，函数f（x）无极小值点，极大值点为x=

1+ 2+2b

2

（Ⅲ）令b=1，由（II）知，函数f（x）=lnx-（x-1）²在（0，

3

2

）上为增函数，在（

3

2

，+∞）上为减函数，且f（1）=0
令t=

n+1

n

（n≥3），则1＜t＜

3

2

∵函数f（x）=lnx-（x-1）²在（1，

3

2

）上为增函数，
∴f（t）＞f（1）=0
即f（

n+1

n

）＞0
即ln

n+1

n

-（

n+1

n

-1）²＞0
∴对任意不小于3的正整数n，不等式ln(n+1)-lnn＞

1

n2

都成立

点评：本题综合考查了利用导数求函数单调区间的方法，利用导数求函数的极值点的方法，利用导数证明不等式的方法．