Question

已知函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)．数列{b_n}满足bn=logana，设k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)，代入到函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，化简可得a_n+1=3a_n，从而可得数列{a_n}为等比数列，公比为3；
（2）先证明数列{b_n}的倒数构成意等差数列，再利用条件k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

，结合k+l=9求数列的首项与公差，从而可表示数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由题意，∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+

3

2

)
∴3(an+1)2+1-3

a

2 n

-1=2(an+1+

3

2

)，∴a_n+1=3a_n
∴数列{a_n}为等比数列，公比为3；
（2）∵bn=logana，∴

1

bn

=logaan，∴

1

bn+1

-

1

bn

=loga3
k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

∴

1

bk

=1+3l，

1

bl

=1+3k，
∴

1

bk

-

1

bl

=3(l-k)=(k-l)loga3
∴

1

bn+1

-

1

bn

=loga3=-3
∴

1

bn

=

1

bk

+(n-k)×(-3)=-3n+28，
∴bn=

1

-3n+28

点评：本题的考点是数列递推关系式，主要考查数列与函数的结合，考查等比数列的定义，等差数列的定义及通项公式的运用，关键是构建等差数列，考查等价转化的能力，有一定的难度．