Question

【题目】已知抛物线过点，且焦点为，直线与抛物线相交于两点.

（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；

（2）若直线经过抛物线的焦点，当线段的长等于5时，求直线方程.

（3）若，证明直线必过一定点，并求出该定点.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析，.

【解析】

试题分析：（1）由，得，抛物线的方程为，进而求解抛物线的准线方程；（2）若直线经过焦点，则直线的方程为，即可求解和，再由，即可求解该直线方程；（3）设直线的方程为代入，得，设，则，，再利用，求得，即可判定直线过定点.

试题解析：（1）由，得，抛物线的方程为，

其准线方程为，焦点为.

（2）若直线经过抛物线的焦点，则直线的方程为.

，，则，

所以，得，，直线方程为.

（3）设直线的方程为代入，得.

设，，

则，.

，

∴，直线必过一定点.