Question

16．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3≤0}\\{x+3y-3≥0}\\{y-1≤0}\end{array}\right.$，则F（x，y）=log₂（y+1）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）的最小值为-2．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，结合 的几何意义求出可行域内的动点与定点（-2，0）连线的斜率的最值得答案．

解答 解：F（x，y）=log₂（y+1）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）
可得F（x，y）=log₂$\frac{y+1}{x+1}$，x＞-1，y＞-1，
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3≤0}\\{x+3y-3≥0}\\{y-1≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，
$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义为可行域内的动点与定点（-1，-1）连线的斜率，
k_PA=$\frac{0+1}{3+1}$=$\frac{1}{4}$，k_PB=$\frac{1+1}{0+1}$=2．∵得y=log₂x是增函数，
∴F（x，y）=log₂$\frac{y+1}{x+1}$，
则F（x，y）=log₂（y+1）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）=log₂$\frac{y+1}{x+1}$的最小值为：F（3，0）=log₂$\frac{1}{4}$=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，注意对数的运算法则，是中档题．