Question

【题目】已知函数，对于任意的 ，都有, 当时，，且.

( I ) 求的值；

(II) 当时，求函数的最大值和最小值；

(III) 设函数，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）当 时，函数最多有个零点.

【解析】

（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；

（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；

（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根据单调性可得 x2﹣2|x|﹣m＝0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m∈（﹣1，0）．

（I）令得，得.

令得，

令得

(II)任取且，则，

因为，即，

令

则.

由已知时，且，则，

所以 ，，

所以函数在R上是减函数，

故 在单调递减.

所以，

又，

由，得 ，

，

故.

(III) 令代入，

得，

所以，故为奇函数.

∴

=

=

，

令,即，

因为函数在R上是减函数，

所以，即，

所以当 时，函数最多有4个零点.