Question

【题目】已知椭圆：的一个顶点为，且焦距为，直线交椭圆于、两点（点、与点不重合），且满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）为坐标原点，若点满足，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）已知条件有，从而易得椭圆标准方程；

（2）分类若直线斜率不存在，则可求得点坐标，得斜率；若线斜率存在，设，，直线：，代入椭圆方程应用韦达定理得，由得关系，再由已知用表示出点坐标，计算，并代入及刚才的关系式，可把表示为的函数，从而可得其取值范围．

（1）依题意，，，则，

解得，所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线垂直于轴时，由消去整理得，

解得或，此时，直线的斜率为；

当直线不垂直于轴时，设，，直线：，

由，消去整理得，

依题意，即，

且，，

又，所以

，

所以，即，解得满足，

所以 ，故.

故直线的斜率 ，

当时，，此时；

当时，，此时；

综上，直线的斜率的取值范围为.