Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x在x=-2和x=1处取得极值
（1）求函数的解析式；       
（2）求函数在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导函数，利用极值点与导数的关系f′（x）=0，求出a、b的值；
（2）分别求出端点值和极值，通过比较得出该区间上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-2x，
∴f′（x）=3ax²+2bx-2；
由题意知f′（-2）=0，f′（1）=0，
∴

3a×4-4b-2=0 3a+2b-2=0

；
解得a=

1

3

，b=

1

2

；
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x；
（2）由（1）可得，最值应在x=-2，1，2中取得
∵f（-2）=

1

3

×（-2）³+

1

2

×（-2）²-2×（-2）=

10

3

，
f（1）=

1

3

×1³+

1

2

×1²-2×1=-

7

6

，
f（2）=

1

3

×2³+

1

2

×2²-2×2=

2

3

，
∴函数f（x）在[-2，2]上的最大值为

10

3

，最小值为-

7

6

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值与最值的问题，求函数在闭区间上的最值时，应比较函数在区间内所有的极值与端点处的函数值，是中档题．