Question

（2013•湛江一模）已知各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有a₂a_n=S₂+S_n
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{log10

8a1

an

}的前n项和为T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意，利用条件，可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，根据数列{a_n}各项为正，可求a₁；
（2）利用条件再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可得到结论；
（3）确定数列的通项，得出正数项与负数项，即可求最值．

解答：解：（1）当n=1时，a₂a₁=S₂+S₁=2a₁+a₂①
当n=2时，得a22=2a₁+2a₂②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
∵数列{a_n}各项为正，∴a₂≠0，∴a₂-a₁=1④
①④联立可得a₁=

2

+1，a₂=

2

+2，（负值舍去）
综上可得，a₁=

2

+1；
（2）当n≥2时，（2+

2

）a_n=S₂+S_n，（2+

2

）a_n-1=S₂+S_n-1，
两式相减可得（1+

2

）a_n=（2+

2

）a_n-1，
∴a_n=

2

a_n-1，
∴a_n=（1+

2

）•(

2

)n-1；
（3）令bn=log10

8a1

an

，则b_n=

5-n

2

lg2
令b_n＞0，则n＜5，令b_n＜0，则n＞5
∴数列{log10

8a1

an

}的前4项为正，第5项为0，从第6项开始为负
∴数列{log10

8a1

an

}的前4项或前5项的和取得最大值，最大值为

5(2lg2+0)

2

=5lg2．

点评：本题考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大值，考查学生的学生能力，属于中档题．