题目内容
【题目】设椭圆
的离心率为
，圆
与
正半轴交于点
，圆
在点处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点
处的切线交椭圆于点
、
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）由离心率为
得
，再根据圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
得到点
在椭圆上，解方程组即得到椭圆的标准方程.
（2）先证明当过点
与圆相切的切线斜率不存在时
，再证明当过点与圆相切的切线斜率存在时，即可得证.
（1）解设椭圆的半焦距为
，由椭圆的离心率为，由题知，
，∴椭圆的方程为
，解得
，点在椭圆上，∴
，解得
，
，∴椭圆的方程为.
（2）证明：当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为
，
由（1）知，
，
，
，
，
∴
，即，
当过点与圆相切的切线斜率存在时，
可设切线的方程为
，
，
，
∴
，即
，
联立直线和椭圆的方程得
，
即
，
得
，且
，
，
∵
，
，
∴
，
综上所述，圆上任意一点
、
、处的切线交椭圆于点，都有.
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