题目内容

已知 $数学公式$ =（cosx，sinx）， $数学公式$ =（cosx，2 $数学公式$ cosx-sinx），f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ +| $数学公式$ |，x∈（ $数学公式$ ，π]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=-1，a=c=2，求 $数学公式$ • $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ =（cosx，sinx）， $\text{[math]}$ =（cosx，2 $\text{[math]}$ cosx-sinx）
∴f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |=cos²x+sinx（2 $\text{[math]}$ cosx-sinx）+1=cos²x-sin²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx+1=cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x+1
=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1．…4分
∵x∈（ $\text{[math]}$ ，π]，∴π＜2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ π?-1≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）max=f（π）=2．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（B）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1=-1，∴sin（2B+ $\text{[math]}$ ）=-1，
而π＜2B+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ π，∴2B+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ?B= $\text{[math]}$ ．…9分
又a=c=2，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =accos（π-B）=2×2cos $\text{[math]}$ =2．…12分．
分析：（Ⅰ）由题意求出函数f（x）的表达式，利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出函数的最大值；
（Ⅱ）利用f（B）=-1求出B的值，a=c=2，然后直接求 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．
点评：本题是中档题，考查向量的数量积的求法，三角函数的化简求值，最值的应用，考查计算能力．