Question

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）求证{+（-1）ⁿ}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_nsin，数列{c_n}的前n项和为{T_n}．求证：对任意的n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用递推式和已知即可得出；
（2）对a_n=两边取倒数，再变形和利用等比数列的定义和通项公式即可得出；
（3）由=（-1）^n-1，可得=（n≥3）．利用放缩法和等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N^*），
∴==-；
=；
=-．
（2）∵，∴，
∵，
∴{+（-1）ⁿ}是首项为3，公比为-2的等比数列，
∴，解得．
（3）∵=（-1）^n-1，
∴=．
当n≥3+…+=
=时，
又T₁＞T₂＞T₃．
∴对任意的n∈N^*，．
点评：熟练掌握递推式的意义、取倒数法、再变形和利用等比数列的定义和通项公式、放缩法和等比数列的前n项和公式是解题的关键．