Question

6．已知sinα+sinβ=$\sqrt{2}$，cosα+cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 利用和差化积公式、同角三角函数关系式求解．

解答 解：∵sinα+sinβ=$\sqrt{2}$，
∴利用和差化积公式得：
2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\sqrt{2}$，①
∵cosα+cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴利用和差化积公式得：
2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，②
①÷②得：
$\frac{sin\frac{α+β}{2}}{cos\frac{α+β}{2}}$=$tan\frac{α+β}{2}$=3，
∴tan（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{2×3}{1-{3}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意和差化积公式、同角三角函数关系式的合理运用．