Question

15．设f（x）是R上的奇函数，当x＞0时f（x）=lg（x²-kx+10），若f（x）的值域为R，则R的取值范围为6≤k＜2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据f（x）的值域为R，结合对数函数的性质即可得到结论．

解答 解：要使f（x）有意义，首先需满足x²-kx+10＞0在（0，+∞）上恒成立，
即k＜x+$\frac{10}{x}$．
由基本不等式求得x+$\frac{10}{x}$≥2$\sqrt{10}$，当且仅当x=$\frac{10}{x}$时，即x=$\sqrt{10}$取等号，
∴k=2$\sqrt{10}$．
其次，要使f（x）的值域为R，需要x²-kx+10=1能取遍所有的正数，
故x²-kx+10=1在（0，+∞）上有解，
由k=x+$\frac{9}{x}$≥6，当且仅当x=3时，等号成立．
综上可得6≤k＜2$\sqrt{10}$．
故答案为：6≤k＜2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．