Question

8．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ²+12ρcosθ+11=0．
（Ⅰ）说明C是哪种曲线？并将C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l与C交于A，B两点，|AB|=$\sqrt{10}$，求l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ ρcosθ=x\\ ρsinθ=y\end{array}\right.$，得曲线C的直角坐标方程为x²+y²+12x+11=0，即可得出结论；
（Ⅱ）$|AB|=|{ρ_1}-{ρ_2}|=\sqrt{{{（{ρ_1}+{ρ_2}）}^2}-4{ρ_1}{ρ_2}}=\sqrt{144{{cos}^2}α-44}$，由$|AB|=\sqrt{10}$，得${cos^2}α=\frac{3}{8}$，$tanα=±\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，即可求l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}={x^2}+{y^2}\\ ρcosθ=x\\ ρsinθ=y\end{array}\right.$，得曲线C的直角坐标方程为x²+y²+12x+11=0…3分
即（x+6）²+y²=25，曲线C是以（-6，0）为圆心，5为半径的圆．…5分
$\frac{{36{k^2}}}{{1+{k^2}}}=\frac{90}{4}$，…8分
（Ⅱ）易得直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），
设A，B的极径分别为ρ₁，ρ₂，其是ρ²+12ρcosθ+11=0的解，
于是ρ₁+ρ₂=-12cosα，ρ₁ρ₂=11，$|AB|=|{ρ_1}-{ρ_2}|=\sqrt{{{（{ρ_1}+{ρ_2}）}^2}-4{ρ_1}{ρ_2}}=\sqrt{144{{cos}^2}α-44}$，…8分
由$|AB|=\sqrt{10}$，得${cos^2}α=\frac{3}{8}$，$tanα=±\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
所以l的斜率为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$或$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．…10分．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．