Question

在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F₁F₂在x轴上，离心率为

2

2

．过F_l的直线交于A，B两点，且△ABF₂的周长为16，那么C的方程为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，△ABF₂的周长为16，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．

解答：解：根据题意，△ABF₂的周长为16，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=16；
根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；
椭圆的离心率为

2

2

，即

c

a

=

2

2

，则a=

2

c，
将a=

2

c，代入可得，c=2

2

，则b²=a²-c²=8；
则椭圆的方程为

x2

16

+

y2

8

=1；
故答案为：

x2

16

+

y2

8

=1．

点评：本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．