Question

过抛物线y²=2x内的任意一点Q（s，t）（t²＜2s）作两条相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，直线MN恒过定点（　　）

A．（s+1，0）

B．（|1-s|，0）

C．（1+2s，0）

D．（|1-2s|，0）

Answer 1

分析：本选择题为了简化计算，不妨取Q点是抛物线的焦点（

1

2

，0）．若要证直线MN必过定点P，只需求出含参数的直线MN的方程，观察是否过定点即可．因此设出A、B、M、N的坐标，用A、B坐标表示M、N坐标，从而求出直线MN方程，即可得直线必过定点，从而得出正确选项．

解答：解：不妨取Q点是抛物线的焦点（

1

2

，0）．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直线AB：y=k（x-

1

2

）代入y²=2x，得
k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，
∴x₃=

x1+x2

2

=

1

2

+

1

k2

，y₃=k（x₃-

1

2

）=

1

k

同理可得，x₄=

1

2

+k²，y₄=-k，
∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

=

k

1-k2

∴直线MN为y-

1

k

=

k

1-k2

（x-

1

2

-

1

k2

），即y=

k

1-k2

（x-

3

2

），
结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（

3

2

，0），
对照Q点是抛物线的焦点（

1

2

，0），定点P可以写成（

1

2

+1，0）．
故选A．

点评：本题给出抛物线互相垂直的弦AB、CD，求它们的中点确定的直线恒过定点．着重考查了直线与抛物线位置关系、直线过定点的判断等知识，属于中档题．