Question

【题目】在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 是梯形， ， ， ．

（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 为棱 上一点， ，试确定 的值使得二面角 为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴ ， ，在梯形 中，过点作 作 于 ，
在 中， ，又在 中， ，
∴ ， ∵ ， ， ，
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，
∴ ，∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ；

（2）解：

过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，连 ，由（1）可知 平面 ，∴ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，∴ ，∴ 是二面角 的平面角，
∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，由（1）知 ，∴ ，又∵ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ；法二：以 为原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系(如图)

则 ， ， ， ，令 ，则
， ，∵ ，∴ ，
∴ ，∵ 平面 ，∴ 是平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 即 ，
不妨令 ，得 ，∵二面角 为 ，
∴ ，解得 ， ∵ 在棱 上，∴ ，故 为所求．
【解析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；
（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q-BD-P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．