Question

2．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最长与最短的方程．

Answer 1

分析 （1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；
（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．

解答 （1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；
将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；
（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=$\frac{1}{3}$．
当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=$-\frac{3}{4}$
此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为$\sqrt{5}$，所以最短弦长为$4\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．