Question

如图，设计建造一个面积为4840m²的矩形蔬菜温室，其长与宽的比为λ（λ＞1）．沿温室的左、右两侧各留8m宽的空道，上、下两侧各留5m宽的空道．试确定温室的长和宽，使其占地（包括蔬菜温室及空道）面积最小．

Answer 1

分析：设矩形温室宽为xm，则长为λxm，依题意有λx²=4840，记矩形温室的占地面积为S，则S=（λx+16）（x+10）=λx²+（10λ+16）x+160，代入利用基本不等式，即可求最值．

解答：解：设矩形温室宽为xm，则长为λxm，依题意有λx²=4840．        …（2分）
记矩形温室的占地面积为S，则S=（λx+16）（x+10）=λx²+（10λ+16）x+160．                    …（5分）
将λ=

4840

x2

代入上式，整理得S=5000+16(x+

3025

x

)．                                    …（8分）
根据均值定理，当x=

3025

x

时，即x=55（此时λ=

8

5

＞1）时，S取得最小值．    …（11分）
此时，温室的长为λx=

8

5

×55=88 m．                              …（12分）
答：矩形温室的长为88m，宽为55m时，温室的占地面积最小．       …（13分）

点评：本题考查函数模型的建立，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．