Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得

|AF1|

sinβ

=

|AF1|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，
即|AF₁|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

，|AF₂|=

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=

sinβ|F1F2|

sin(α+β)

+

sinα|F1F2|

sin(α+β)

，
=2c（

sinβ

sin(α+β)

+

sinα

sin(α+β)

）=2c•

sinα+sinβ

sin(α+β)

，
得e=

sin(α+β)

sinα+sinβ

．
（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①当y₀=0时，λ₁+λ₂=2

a2 +c2

a2-c2

=

2(1+e2)

1-e2

；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y=

y0

x0-c

（x-c），
由

y= y0 x0-c (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

，
消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．
由韦达定理得  y₂y₀=

c2b2y02-a2b2y02

b2(x0-c)2+a2y02

，
所以y₂=

c2b2y0-a2 b2y0

b2(x0-c)2+a2y02

，
所以 λ₂=

|AF2|

|F2C|

=-

y0

y2

=-

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

，
同理可得λ₁=

|AF1|

|F1C|

=-

y0

y1

=-(

b2(x0-c)2+a2y02

c2b2-a2b2

+

b2(x0+c)2+a2y02

c2b2-a2b2

]，
故λ₁+λ₂=

2(1+e2)

1-e2

．