题目内容

已知数列{an}满足a1=3a（a＞0），an+1=
a
2
n
+a2
2an
，设bn=
an-a
an+a

（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与
7
8
的大小，并证明你的结论．
分析：（1）先求出数列{bn}的首项，然后根据条件可得bn+1=
b
2
n
，两边同取以2为底的对数，可得数列{log2bn}是首项为-1，公比为2的等比数列，从而可求出数列{bn}的通项公式；
（2）欲比较Sn与
7
8
的大小，只需判断Sn-
7
8
的符号，利用放缩法和等比数列求和公式可得结论．
解答：解：（1）∵bn=
an-a
an+a
，a1=3a（a＞0），
∴b1=
a1-a
a1+a
=
2a
4a
=
1
2
，bn+1=
an+1-a
an+1+a
，
∵an+1=
a
2
n
+a2
2an
，
∴bn+1=
an+1-a
an+1+a
=
a
2
n
+a2
2an
-a
a
2
n
+a2
2an
+a
=
(an-a)2
(an+a)2
=
b
2
n
，
而b1＞0，则bn＞0，
∴log2bn+1=log2
b
2
n
即log2bn+1=2log2bn，
∴数列{log2bn}是首项为-1，公比为2的等比数列，则log2bn=-2n-1，
∴bn=
1
22n-1
即数列{bn}的通项公式为bn=
1
22n-1
；
（2）Sn＜
7
8
，
证明：Sn-
7
8
=（
1
2
+
1
4
+
1
24
+
1
28
+
1
216
+…）-
7
8

=（
1
24
+
1
28
+
1
216
+…）-
1
8

＜（
1
16
+
1
24
•
1
2
+
1
24
•
1
22
+…）-
1
8

=
1
16
1-
1
2
-
1
8
=0，
∴Sn＜
7
8
．
点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数列与不等式的综合应用，同时考查了运算求解的能力和不等式证明中运用放缩的方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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