Question

（2012•河北模拟）已知{a_n}是首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列，其前n项和为S_n，且有

S10

S5

=

33

32

，设b_n=2q+S_n．
（1）求q的值；
（2）数列{b_n}能否为等比数列？若能，请求出a₁的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由q≠1，利用等比数列的前n项和公式，结合

S10

S5

=

33

32

求得q 的值．
（2）化简b_n=2q+S_n ，若数列{b_n}能为等比数列，则有b22=b₁ b₃，由此求得a₁的值，此时可得当n≥2时，

bn

bn-1

=

1

2

，从而得出结论．

解答：解：（1）∵q≠1，∴

S10

S5

=

33

32

=

a1(1-q10) 1-q

a1(1-q5) 1-q

=

1-q10

1-q5

=1+q⁵，∴q=

1

2

．
（2）∵b_n=2q+S_n =1+

a1 •(1- 1 2n )

1- 1 2

=（2a₁+1）-

2a1

2n

．
若数列{b_n}能为等比数列，则有b22=b₁ b₃，∴(1+

3

2

 a 1)2=（1+a₁ ）（1+

7

4

a₁），解得 a₁=-

1

2

，或 a₁=0 （舍去）．
∵b_n≠0，且当n≥2时，

bn

bn-1

=

1

2

，故当 a₁=-

1

2

时，数列{b_n}为等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，等比关系的确定，属于中档题．