题目内容

(2012•河北模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导函数f'(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(  )
分析:根据题意,先求出f(x)的导函数,再根据导函数的图象找出导函数的周期,利用周期公式求出ω的值,进而根据导函数的最大值为2,求出A的值,把求出的ω与A的值代入导函数中,再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值,将A,ω及φ的值代入即可确定出f(x)的解析式,即可得答案.
解答:解:根据题意,对函数f(x)=Asin(ωx+φ)求导,可得f′(x)=ωAcos(ωx+φ),
由导函数的图象可知:导函数的周期为2[
2
-(-
π
2
)]=4π,
则有T=
ω
=4π,解得ω=
1
2

由导函数图象可得导函数的最大值为2,则有Aω=2,即A=4,
∴导函数f′(x)=2cos(
1
2
x+φ),
把(-
π
2
,2)代入得:4cos(-
π
4
+φ)=2,且|φ|<
π
2

解得φ=
π
4

则f(x)=4sin(
1
2
x+
π
4
).
故选B.
点评:此题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,涉及复合函数的导数的运算;借助导函数图象中的周期、最值,来确定A,ω及ψ的值是解本题的关键.
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