Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．

（1）设与平面所成的角为，二面角的大小为，求证：；

（2）在线段上是否存在一点（与两点不重合），使得∥平面? 若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）存在，的长为.

【解析】

试题分析：（1）直线和平面所成的角以及二面角的计算，可以考虑两种方法，其一利用传统立体几何的方法，由已知得，，又，故面，则，由平面，，故，则，然后分别在直角三角形中，求，或者可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和直线的方向向量求直线和平面所成的角，利用两个半平面的法向量来求二面角的大小；（2）建立空间直角坐标系，设点，并求出半平面的法向量，利用和法向量垂直，列等式，即可求解.

试题解析：解法一：(1)证明： 又

1分

又平面，,面 2分

∴ 3分

, 5分

6分

(2)取的中点，连交于,由与相似得，, 7分

在上取点,使,则, 8分

在上取点使,由于平行且等于,

故有平行且等于， 9分

四边形为平行四边形，所以, 10分

而, 故有∥平面, 11分

所以在线段上存在一点使得∥平面，的长为. 12分

解法二：（1）同解法一；

（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则,为的中点,则 7分

假设存在符合条件的点，则共面，

故存在实数，使得 9分

即，故有即 11分

即存在符合条件的点，的长为. 12分

考点：1、直线和平面所成的角；2、二面角的求法；3、直线和平面平行的判定.