题目内容

设O为△ABC的外心，若x
OA
+y
OB
+z
OC
=
0
，C为△ABC的内角，则cos2C=
 
．（用已知数x，y，z表示）
分析：由x
OA
+y
OB
+z
OC
=
0
，移项得x
OA
+y
OB
=-z
OC
，再平方得：(x
OA
+y
OB
) 2=(z
OC
) 2，得到 2xy
OA
•
OB
=2xyR2cos2C=z2R2-（x2+y2）R2，据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍以及向量的数量积得cos2C的值．
解答：解：设外接圆的半径为R，
∵x
OA
+y
OB
+z
OC
=
0
，
∴x
OA
+y
OB
=-z
OC
，
∴(x
OA
+y
OB
) 2=(z
OC
) 2，
∴（x2+y2）R2+2xy
OA
•
OB
=z2R2，
∴2xy
OA
•
OB
=2xyR2cos2C=z2R2-（x2+y2）R2
∴cos2C=
z2-x2-y2
2xy
，
故答案为：
z2-x2-y2
2xy
．
点评：本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设O为△ABC的外心，且3
OA
+4
OB
+5
OC
=
0
，则△ABC的内角C的值为
π
4
π
4
．
设O为△ABC的外心，且3
OA
+4
OB
+5
OC
=
0
，则△ABC中的内角C值为（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2
（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为
3
．
（1）若AB=2
2
，求△ABC的另外两条边长；
（2）设O为△ABC的外心，当BC=
21
时，求
AO
•
BC
的值．
设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|
AB
|=
3
，|
AC
|=1，则
AD
•(
AB
-
AC
)的值是（　　）

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