Question

20．已知函数$f（x）=\frac{x-a}{ax}（{a＞0}）$
（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x₀，使f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，现已知该函数在（0，+∞）上有两个不等的不动点，求a的取值范围；
（3）若y=f（x）-x的值域为{y|y≥5或y≤1}，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（0，+∞）上单调递增，运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论等步骤；
（2）令f（x）=x，即有$\frac{1}{a}$=x+$\frac{1}{x}$，求出右边的最小值，即可得到范围；
（3）将函数整理成二次方程的形式，运用判别式不小于0，再由值域可得，1，5是a²y²-2ay+1-4a²=0的两根，运用韦达定理，即可得到a即可．

解答 解：（1）f（x）在（0，+∞）上单调递增，
理由如下：设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=$\frac{m-a}{am}$-$\frac{n-a}{na}$=$\frac{m-n}{mn}$，
由于0＜m＜n，则m-n＜0，mn＞0，则f（m）-f（n）＜0，
即有f（m）＜f（n）．则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）令f（x）=x，即有$\frac{1}{a}$=x+$\frac{1}{x}$，
由于x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1取最小值2，
则$\frac{1}{a}$＞2，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$；
（3）由于y=f（x）-x，即为ax²+（ay-1）x+a=0，
由判别式大于等于0，得，（ay-1）²-4a²≥0，
即有a²y²-2ay+1-4a²≥0，
由函数的值域，可知1，5是a²y²-2ay+1-4a²=0的两根，
则有1+5=$\frac{2}{a}$，且1×5=$\frac{1-{4a}^{2}}{{a}^{2}}$，
解得：a=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断，函数的零点的运用，考查运用判别式法求函数的值域，属于中档题．