Question

如图，在三棱锥中，已知△是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且，
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）若为的中点，问上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置；若不存在，试说明理由．

Answer 1

略

解一：（1）取AC的中点H，因为 AB＝BC，所以 BH⊥AC．
因为 AF＝3FC，所以 F为CH的中点．
因为 E为BC的中点，所以 EF∥BH．则EF⊥AC．
因为 △BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．
因为 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．
因为 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．
因为 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF
（2）
（3）存在这样的点N，
当CN＝时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE＝O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．
所以 当CF＝CN时，MN∥OF．所以 CN＝
解二：建立直角坐标系