题目内容
5．
如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1-AEF的体积．
分析 （I）由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1，从而平面AEF⊥平面B1BCC1；
（II）由（1）知AE为棱锥A-B1EF的高．于是V${\;}_{{B}_{1}-AEF}$=V${\;}_{A-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}EF}•AE$．
解答 
解：（I）∵BB1⊥面ABC，AE?平面ABC，
∴AE⊥BB1，
∵E是正三角形ABC的边BC的中点，
∴AE⊥BC，
又∵BC?平面B1BCC1，B1B?平面B1BCC1，BC∩BB1=B，
∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1．
（II）∵三棱柱所有的棱长均为2，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴S${\;}_{△{B}_{1}EF}$=2×2-$\frac{1}{2}×2×1$-$\frac{1}{2}×1×1$$-\frac{1}{2}×2×1$=$\frac{3}{2}$，
由（I）知AE⊥平面B1BCC1
∴${V_{{B_1}-AEF}}={V_{A-{B_1}EF}}=\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | 12种 | B． | 36种 | C． | 48种 | D． | 72种 |
6．与双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y2=1有相同的渐近线，且右焦点F到渐近线的距离为2的双曲线方程是（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$ | B． | $\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{6}=1$ | C． | $\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$ | D． | $\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$ |
如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，BE⊥DF．
17．给定集合An={1，2，3，…，n}，n∈N*．若f是An→An的映射且满足：
①任取i，j∈An，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
②任取m∈An，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f为An→An的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一个“优映射”．
表一
表2
（1）若f：A4→A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若f：A2015→A2015是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1017）的最大值为2021．
①任取i，j∈An，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
②任取m∈An，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f为An→An的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一个“优映射”．
表一
| i | 1 | 2 | 3 |
| F（i） | 2 | 3 | 1 |
| i | 1 | 2 | 3 | 4 |
| F（i） | 3 |
（2）若f：A2015→A2015是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1017）的最大值为2021．