Question

如图，已知圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形，O是底面圆心．
（Ⅰ）求圆锥的表面积；
（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．

Answer 1

分析：（1）根据圆锥轴截面的形状，得它底面半径r=1，母线l=2，结合圆锥的表面积公式，不难得到该圆锥的表面积；
（2）根据圆O'是经过高AO的中点且平行于圆O所在平面的截面，得截得小圆锥与大圆锥相似且相似比为1：2，再结合圆锥体积公式和两个相似体的体积关系，可得小圆锥的体积，从而得到所求圆台的体积．

解答：解：（1）圆锥的表面是由一个侧面和一个底面圆构成
∵圆锥的轴截面ABC是边长为2的正三角形，得底面半径r=1，母线l=2
∴S_底面=πr²=π×1²=π，S_侧面=πrl=π×1×2=2π
因此，该圆锥的表面积等于S=S_底面+S_侧面=3π；
（2）由（1）得，大圆锥的高h=

22-12

=

3

∴大圆锥的体积V_大圆锥=

1

3

×S_底×h=

3 π

3

∵圆O'是经过高AO的中点，且平行于圆O所在平面的截面
∴截得小圆锥与大圆锥的相似比为1：2，可得V_小圆锥=

1

8

V_大圆锥=

3 π

24

因此，所求圆台的体积为V=V_大圆锥-V_小圆锥=

7 3 π

24

点评：本题给出轴截面是等边三角形的圆锥，求表面积并求截得圆台的体积．考查了圆的侧面积公式、体积公式和圆台体积求法等知识，属于基础题．