Question

如图，已知圆锥的轴截面PAB是边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求该圆锥的表面积；
（Ⅱ）若M为圆锥的高PO的中点，过点M作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件求出圆锥的高和底面半径，进而求该圆锥的表面积；
（Ⅱ）根据M为圆锥的高PO的中点，计算出大圆锥和小圆锥的体积，利用两个锥体的体积差计算出圆台的体积．

解答：解：（Ⅰ）∵圆锥的轴截面PAB是边长为4的正三角形，
∴圆锥的底面半径OB=2，圆锥的高PO=2

3

，母线PB=4，
∴该圆锥的表面积为π×OB×PB+π×OB²=8π+4π=12π．
（Ⅱ）∵M为圆锥的高PO的中点，
∴小圆锥的高为

1

2

PO=

1

2

×2

3

=

3

，小圆锥的底面半径r=

1

2

×OB=

1

2

×2=1，
∴大圆锥的体积为

1

3

π×22×2

3

=

8 3

3

π，
小圆锥的体积为

1

3

π×12×

3

=

3

3

π，
∴圆台的体积为

8 3

3

π-

3

3

π=

7 3

3

π．

点评：本题主要考查圆锥的体积和圆台的体积的计算，要求熟练掌握相应的体积公式，考查学生的运算能力．