题目内容
（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f'（x）=0的两根为x1，x2，则|x1-x2|的取值范围是（ ）
分析：先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得 |x 1- x 2|2=
=
(
)2+
•
+
，由f′0）•f′（1）＞0，
解得-2＜
＜-1，利用二次函数的性质求出|x 1- x 2|2的范围，即可求得|x1-x2|的取值范围．
| 4b2-12ac |
| 9a2 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
解得-2＜
| b |
| a |
解答：解：由题意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，
∴x1+x2=-
，x1•x2=
．∴|x1-x2|2 =(x 1+ x 2)2-4x1x2 ，
∴|x 1- x 2|2=(x 1+ x 2)2-4x1•x2 =
．
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴|x 1- x 2|2=
=
(
)2+
•
+
．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：(
)2+3
+2＜0，解得-2＜
＜-1．
由二次函数的性质可得，当
=-
时，|x 1- x 2|2有最小值为
，
当
趋于-1时，|x 1- x 2|2 趋于
，故 |x 1- x 2|2∈[
，
)，
故|x1-x2|∈[
，
)，
故选A．
∴x1+x2=-
| 2b |
| 3a |
| c |
| 3a |
∴|x 1- x 2|2=(x 1+ x 2)2-4x1•x2 =
| 4b2-12ac |
| 9a2 |
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴|x 1- x 2|2=
| 4b2-12ac |
| 9a2 |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：(
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
由二次函数的性质可得，当
| b |
| a |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
当
| b |
| a |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
故|x1-x2|∈[
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
故选A．
点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．
练习册系列答案
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