Question

已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x=。不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍。设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N。
 （I）求E的方程；
 （Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y），则
化简得；
（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0），与双曲线方程联立消去y得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
由题意知，3-k²≠0且△>0
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则

       
        
       
因为
所以直线AB的方程为
因此M点的坐标为

同理可得
因此
                  
                  
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2
则B（2，3），C（2，-3），AB的方程为y=x+l
因此M点的坐标为，
同理可得
因此
综上
即
故以线段MN为直径的圆过点F。