Question

 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP＋k_OA＝k_PA.

(1) 求点P的轨迹C的方程；

(2) 若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且＝λ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA＝2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1) 设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP＋k_OA＝k_PA得，

整理得轨迹C的方程为y＝x²(x≠0且x≠－1)．

(2) 设P(x₁，x)，Q(x₂，x)，M(x₀，y₀)，

由可知直线PQ∥OA，则k_PQ＝k_OA，

故，即x₂＋x₁＝－1，

由O、M、P三点共线可知，

         ＝(x₀，y₀)与＝(x₁，x)共线，

∴ x₀x－x₁y₀＝0，

由(1)知x₁≠0，故y₀＝x₀x₁，

同理，由＝(x₀＋1，y₀－1)与＝(x₂＋1，x－1)共线可知(x₀＋1)(x－1)－(x₂＋1)(y₀－1)＝0，

即(x₂＋1)[(x₀＋1)·(x₂－1)－(y₀－1)]＝0，

由(1)知x₂≠－1，故(x₀＋1)(x₂－1)－(y₀－1)＝0，

将y₀＝x₀x₁，x₂＝－1－x₁代入上式得(x₀＋1)(－2－x₁)－(x₀x₁－1)＝0，

整理得－2x₀(x₁＋1)＝x₁＋1，

由x₁≠－1得x₀＝－，

由S_△PQA＝2S_△PAM，得到QA＝2AM，

∵ PQ∥OA，

∴ OP＝2OM，

∴

∴ x₁＝1，

∴ P的坐标为(1，1)．