Question

【题目】已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2

（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或．

【解析】

试题（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；

（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．

解：（1）设椭圆C的方程为．

根据题意知，解得，

故椭圆C的方程为．

（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．

当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．

由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

，

因为，所以，即

=

=

=，解得，即k=．

故直线l的方程为或．