Question

【题目】已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；

（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）， 算出m值，然后求出的单调区间和极值；

（2）因为对任意，总存在使得，

即成立，分别求与的最值即可.

试题解析：

（1）函数的定义域为， ，

在处的切线斜率为，由，∴，

∴， ，令，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.从而的单调递减区间为，单调递增区间为，当时， 有极小值， 没有极大值；

（2）由， ，当时， ， 单调递增，故有最小值，

因为对任意，总存在使得，

即成立，所以对任意，都有，

即，

也即成立，从而对任意，都有成立，

构造函数 ，则，令，得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，∴的最大值为，∴，综上，实数的取值范围为.