Question

实数x，y满足x²+y²-4x-14y+45=0，求
（1）x²+y²+4x-6y的取值范围；
（2）

y-3

x+2

的取值范围．
（3）x-2y取值范围．

Answer 1

分析：（1）圆方程化为标准方程，利用三角换元，结合辅助角公式，可得结论；
（2）利用三角换元，结合辅助角公式，及三角函数的值域，可得结论；
（3）利用三角换元，结合辅助角公式，可得结论．

解答：解：（1）将x²+y²-4x-14y+45=0，转化为标准形式（x-2）²+（y-7）²=8，令x=2+2

2

cosα，y=7+2

2

sinα
∴x²+y²+4x-6y=8（x+y）-45=27+32sin（α+

π

4

）
∴-5≤x²+y²+4x-6y≤59；
（2）由（1）知，

y-3

x+2

=

4+2 2 sinα

4+2 2 cosα

=

2 +sinα

2 +cosα

令z=

2 +sinα

2 +cosα

，则zcosα-sinα=

2

-

2

z，∴|

2 - 2 z

z2+1

|≤1
∴2-

3

≤z≤2+

3

∴

y-3

x+2

的取值范围为[2-

3

，2+

3

]；
（3）x-2y=-12+2

2

cosα-4

2

sinα=-12-2

10

sin（α-θ）
∴-12-2

10

≤x-2y≤-12+2

10

．

点评：本题考查取值范围的确定，考查三角函数知识，属于中档题．