Question

若实数x，y满足x²+4y²=4，则

xy

x+2y-2

的最大值为（　　）

• A．

  1- 2

  2

• B．1-

  2

• C．

  1+ 2

  2

• D．1+

  2

Answer 1

分析：先根据实数x，y满足x²+4y²=4，利用三角换元法：设x=2cosθ，y=sinθ，代入

xy

x+2y-2

化简，最后利用三角函数的性质即可得出

xy

x+2y-2

的最大值．

解答：解：∵实数x，y满足x²+4y²=4，
∴设x=2cosθ，y=sinθ，
则

xy

x+2y-2

=

2cosθsinθ

2cosθ+2sinθ-2

=

(sinθ+cosθ)2-1

2(sinθ+cosθ-1)

=

sinθ+cosθ+1

2

=

2

2

sin(θ+

π

4

)+

1

2

，
∴当θ=

π

4

时，

xy

x+2y-2

取最大值为

1+ 2

2

．
故选C．

点评：本小题主要考查二元函数最值的求法、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．