Question

如果实数x，y满足x²+y²=1，则（1+xy）（1-xy）有（　　）

• A．最小值

  1

  2

  和最大值1
• B．最大值1和最小值

  3

  4

• C．最小值

  3

  4

  而无最大值
• D．最大值1而无最小值

Answer 1

分析：观察到sin²θ+cos²θ=1，则可做三角代换令x=sinθ，y=cosθ，利用二倍角的正弦与降幂公式即可求得答案．

解答：解：∵x²+y²=1，
∴x=sinθ，y=cosθ，
∴（1-xy）（1+xy）
=1-x²y²
=1-（sinθcosθ）²
=1-(

1

2

sin2θ)2
=1-

1

4

sin²2θ，
当sin2θ=0时，1-

1

4

sin²2θ有最大值1；
当sin2θ=±1时，1-

1

4

sin²2θ有最小值

3

4

．
∴（1-xy）（1+xy）的最大值是1，最小值是

3

4

．
故选：B．

点评：本题考查三角代换，着重考查二倍角的正弦与正弦函数的值域，考查圆的参数方程的应用，属于中档题．