Question

如图,已知平行四边形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF为正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD的体积.

(1)求V(x)的表达式.

(2)求V(x)的最大值.

 

Answer 1

(1) V(x)= x(0<x<2) (2)

【解析】【思路点拨】利用体积公式得到V(x)的表达式,然后根据基本不等式或函数的知识求最大值.

【解析】
(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.

∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,

∴FA=2,BD=(0<x<2),

∴S?ABCD=CD·BD=x,

∴V(x)=S?ABCD·FA=x(0<x<2).

(2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x=(0<x<2)取得最大值,

∵x2(4-x2)≤()2=4,

∴V(x)≤×2=.

当且仅当x2=4-x2,即x=时等号成立.

故V(x)的最大值为.

方法二:V(x)=x=

=.

∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2,即x=时,V(x)取得最大值,且V(x)max=.