Question

设数列的前项和为，数列满足：，已知对任意都成立
（1）求的值
（2）设数列的前项的和为，问是否存在互不相等的正整数，使得成等差数列，且成等比数列？若存在，求出；若不存在，说明理由

Answer 1

（1）（2）不存在满足条件的正整数m，k，r，使得成等差数列，且成等比数列.

试题分析：（1）先利用递推关系式求出数列的通项，再利用对任意都成立，证明出数列是首项为1，公比为3的等比数列并求出其通项然后，所以对任意都成立，进而求出t的值；
（2）由（1）得然后利用错位相减法解出
再由成等差数列,且成等比数列.得m=r.这与矛盾，所以，不存在满足条件的正整数m，k，r，
试题解析：（1）当时，
当时，也适合上式.
所以（）            .2分
因为多任意都成立，
所以
所以且
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.
所以，         ..4分
即
因为，
所以
所以对任意都成立，
所以，                     6分
（2）由（1）得，
所以
所以

两式相减，得



解得                          ..8分
若存在互不相等的正整数,使得成等差数列,且成等比数列.
则
即.
由成等差数列,得所以.
所以由得.
即
所以
即即即m=r.
这与矛盾
所以，不存在满足条件的正整数m，k，r，              .10分