Question

在R上可导的函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则

b-4

a-3

的取值范围是（　　）

• A、（-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ）
• B、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• C、（

  1

  4

  ，1）
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1]内取得极大值，在区间（1，2]内取得极小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤0 a+b+2≥0

，区域的三个顶点坐标为（-2，0），（-1，0），（-3，1），

b-4

a-3

表示点A（3，4）与可行域内的点B连线的斜率，
当（-1，0）时，

b-4

a-3

最大，最大为1；
当（-3，1）时，

b-4

a-3

最小，最小为

1

2

．
故选：D．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．