Question

【题目】已知函数。

（Ⅰ）求函数在区间上的最大值；

（Ⅱ）设在（0,2）内恰有两个极值点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设，方程在区间有解，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得，二次求导有 ，据此可得单调递增，据此求解函数的最大值即可.

（Ⅱ）由函数的解析式可得，则二次函数在（0,2）有两个变号零点，求证函数 ，结合函数的性质确定实数m的取值范围即可.

（Ⅲ）由题意可得 ，分类讨论：（ⅰ）时不成立；

（ⅱ）时，，构造函数，则，易知在上单调递减，结合函数在端点处的极限值确定实数m的取值范围即可.

（Ⅰ），由 ，

可知在内单调递增，，故单调递增，

∴在上的最大值为.

（Ⅱ） ，

，

由题意知：在（0,2）有两个变号零点，

即在（0,2）有两个变号零点，

令 ，

令 ，且时，，单调递增，时，，单调递减，

又，∴.

（Ⅲ）∵ ，

∴

（ⅰ）时，不成立；

（ⅱ）时，，

设，

∴ ，在上为单调递减，

，

当时， 时，

∴ ，

∴.