Question

如图，在正三棱锥中，底面边长是2，D是BC的中点，M在BB₁上，且.

(1)求证：;      
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）略；（2）；（3）

（1）证明：连接,交于点连接,则是的中位线，,又,.
（2）在正三棱锥中，的中点，则,从而AD⊥MC，又CM⊥AC₁，则CM和面ADC₁内的两条相交直线AD，AC₁都垂直，,于是,则与互余，则与互为倒数，易得,连B₁D,,,三棱锥的体积为.
（3）过D作DH⊥AC，垂足为H，过H在面内作，垂足为G，易证是二面角的平面角，在中，,,在中，
方法2：以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，设，则,,,,，， ，，，，设平面的法向量，则，
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（2），,，.平面的法向量为，点到平面的距离，.
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（3）由（2）知平面的法向量为，取的中点为,所以面的法向量为,设二面角的平面角为，则.