Question

已知椭圆D：x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦点为F，其左右顶点为A、C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，△FBC的外接圆的圆心P（m，n）在直线x+y=0上．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x=-

2

，N是椭圆D上的动点，NM⊥l，垂足为M，是否存在点N，使得△FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出FC的垂直平分线方程，BC的垂直平分线的方程，从而可得P的坐标，利用P（m，n）在直线x+y=0上，结合b²=1-c²，即可求得椭圆D的方程；
（Ⅱ）设N（x，y），求出|MN|，|FN|，|MF|，利用△FMN为等腰三角形，分类讨论，即可求得点N的坐标．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
设F的坐标为（-c，0）（c＞0），则FC的垂直平分线方程为x=

1-c

2

…①
因为BC的中点坐标为(

1

2

，

b

2

)，BC的斜率为-b
所以BC的垂直平分线的方程为y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)…②
联立①②解得：x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

因为P（m，n）在直线x+y=0上，所以

1-c

2

+

b2-c

2b

=0…（4分）
即（1+b）（b-c）=0
因为1+b＞0，所以b=c
再由b²=1-c²求得b2=c2=

1

2

所以椭圆D的方程为x²+2y²=1…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F(-

2

2

，0)，椭圆上的点横坐标满足-1≤x≤1
设N（x，y），由题意得M(-

2

，y)，则|MN|=x+

2

，|FN|=

(x+ 2 2 )2+y2

，|MF|=

1 2 +y2

①若|MN|=|FN|，即

(x+ 2 )2

=

(x+ 2 2 )2+y2

与x²+2y²=1联立，解得x=-

2

＜-1，显然不符合条件…（9分）
②|MN|=|MF|，即

(x+ 2 )2

=

1 2 +y2

与x²+2y²=1联立，解得：x=-

2

3

，x=-

2

＜-1（显然不符合条件，舍去）
所以满足条件的点N的坐标为(-

2

3

，±

14

6

)…（11分）
③若|FN|=|MF|，即

(x+ 2 2 )2+y2

=

1 2 +y2

解得x=0，x=-

2

＜-1（显然不符合条件，舍去）
此时所以满足条件的点N的坐标为(0，±

2

2

)…（13分）
综上，存在点N(-

2

3

，±

14

6

)或(0，±

2

2

)，使得△FMN为等腰三角形…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．