Question

已知椭圆D：

x2

50

+

y2

25

=1与圆M：x²+（y-5）²=9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

Answer 1

分析：依题意，设双曲线G的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），从而得到其渐近线方程，由椭圆方程可求得双曲线G的两个焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），利用圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r=3即可求得a，b，从而可得双曲线G的方程．

解答：解：∵椭圆D

x2

50

+

y2

25

=1的两个焦点F₁（-5，0），F₂（5，0），因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5．
设双曲线G的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴渐近线为bx±ay=0且a²+b²=25，
∵圆心M（0，5）到两条渐近线的距离为r=3，
∴

|5a|

a2+b2

=3，即

5|a|

5

=3，解得a=3，b=4，
∴G方程为

x2

9

-

y2

16

=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程与椭圆的简单性质，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．