Question

已知椭圆D：

x2

4

+y²=1与圆M：x²+（y-m）²=9 （m∈R），双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切．
（1）当m=6时，求双曲线G的方程；
（2）若双曲线的两条准线间的距离范围是[1，

3

]，求m的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可根据椭圆

x2

4

+y²=1及双曲线G与椭圆D有相同的焦点，求出双曲线的焦点坐标，设双曲线的方程，得到有a²+b²=3 
（1）当m=6时，圆心坐标为（0，6），半径为3，由于双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切，由此得方程3=

|6a|

a2+b2

，解此方程求得a的值，再结合a²+b²=3求出b的值即可得到双曲线的标准方程；
（2）双曲线的两条准线间的距离范围是[1，

3

]，可得

2a2

3

∈[1，

3

]，从中解出a²∈[

3

2

，

3

2

]，再由双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切得到3=

|ma|

a2+b2

，将其整理为m²=

27

a2

，将a²的取值范围代入，即可求得m的取值范围．

解答：解：由题意椭圆D：

x2

4

+y²=1知其焦点在X轴上，且焦点坐标是（-

3

，1）与（

3

，1）
又双曲线G与椭圆D有相同的焦点，可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，故有a²+b²=3  ①
渐近线方程为y=±

b

a

x，即ay±bx=0
（1）当m=6时，圆心坐标为（0，6），半径为3
由于双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切，故有圆心（0，6）到双曲线渐近线的距离是3，
∴3=

|6a|

a2+b2

，由③得a²+b²=3，故有a=

3

2

，b=

3

2

∴双曲线G的方程为

x2

3 4

-

y2

9 4

=1
答：当m=6时，双曲线G的方程是

x2

3 4

-

y2

9 4

=1
（2）由题意双曲线的两条准线间的距离范围是[1，

3

]，得

2a2

3

∈[1，

3

]，解得a²∈[

3

2

，

3

2

]②
又圆心坐标为（0，m），半径为3
由于双曲线的两条渐近线恰好与圆M相切，故有圆心（0，m）到双曲线渐近线的距离是3，
∴有点到直线的距离公式得到3=

|ma|

a2+b2

，由③得a²+b²=3，得|m|=

3 3

a

，即m²=

27

a2

，
由②得m²∈[18，18

3

]
又m∈R，可得m∈[3

2

，3

4	12

]∪[-3

4	12

，-3

2

]
答：m的取值范围是[3

2

，3

4	12

]∪[-3

4	12

，-3

2

]

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合题目，本题解题的关键是熟练应用圆与圆锥曲线的性质来解题，本题可以作为压轴题目出现在大型考试中，是一个难题．